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品质统计原理——统计估计

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授  課  目  錄  

  1. 導 論
  2. 統計資料的整理與描述
  3. 機率導論
  4. 常用的機率分佈與統計分佈
  5. 描樣方法與描樣分佈
  6. 統計估計
  7. 統計檢定
  8. 變異數分析
  9. 相關分析與迴歸模式
  10. 無母數統計檢定
  11. 類別資料分析---列聯表與卡方檢定

 

 

 

 

 

 

 

第六章 統計估計

 

 

 

 

 

 

 

當獲得母體的樣本資料時，可由各種機率分佈當中，選擇出最接近該母體的機率分佈，續之即估計該分佈之參數值，使樣本資料與母體參數有最佳的推論與檢定能力。

然即使隨機變數的機率分佈及其參數值已知，仍無法準確的預測某特定事件一定或不一定發生，而只能預測此事件發生之機率為若干。此不確定性發生的原因主要是因為自然現象有固有的隨機性(Inherent Randomness)。但不確定性的其他因素則可能包括分佈模式選擇的不適切，或參數推定不準確所致。雖然參數推定值的準確性可因樣本數的增加而提高。但固有的變異性確可能因為樣本數增加而益形顯著。

 

統計估計過程是由母體中抽取出數樣本，藉機率原理找出適當的樣本統計量，再以此樣本統計量推估母體參數。統計估計方法，一般分為點估計與區間估計兩種。

 

6.1 點估計(Point Estimation)

  • 假設隨機變數X的母體機率密度函數f(x|q)，其中q為未知的參數。為估計此未知的參數，則由母體中抽取出數樣本，得到觀測值為x1, x2,…,xn。
  • 利用點估計方法求出一估計式(Estimator)，以表示。再將觀測值為x1, x2,…,xn代入估計式中得到一數值，此數值稱之為參數q的估計值(Estimate)。
  • 常用方法：(1) 最大概似法，(2) 動差法。

 

 

 

 

 

 

 

      1.  最大概似法(Maximum Likelihood Method)
  • 由Fisher (1912)提出。假設隨機變數X的母體機率密度函數f(x|q)，其中q為未知的參數，為估計此未知的參數，則由母體中抽取出數樣本，得到觀測值為x1, x2,…,xn。則概似函數定義為

L(x1, x2,…,xn；q) = f(x1,q)f(x2,q)…f(xn,q)(6.1)

  • 使概似函數L(x1, x2,…,xn；q)值為最大，則能求出估計式，稱此為最大概似估計式(MLE, Maximum Likelihood Method)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

範例、某公司新推出光碟燒錄機，其使用壽命服從指數分佈f(x) = (1/q)e-x/q。為估計參數q以了解平均使用壽命，隨機抽取出11台樣本做測試，測得其壽命結果如下：8，10，13，14，19，21，27，28，34，41，52 (百小時)。試以最大概似法估計q值。

SOL：L(x1, x2,…,xn；q) = f(x1, q)f(x2, q)…f(xn, q)

ln L(x1, x2,…,xn；q)= -n ln q -(1/q)åni =1 xi

d (ln L)/dq = -n / q + (1/q2)åni =1 xi = 0

Estimator(估計式)  =åni =1 xi /n

= (8+10+13+14+19+21+27+28+34+41+52)/11= 267/11

 

 

 

 

 

 

 

 

範例、假設隨機變數X~N(m, s2)，從其中隨機抽取出一組樣本x1, x2,…,xn，試以最大概似法估計m, s2值。

SOL：L(x1, x2,…,xn；m, s2) = f(x1, m, s2)f(x2, m, s2)…f(xn, m, s2)

ln L(x1, x2,…,xn；m, s2) = ln

= -(n/2) ln (2p) - (n/2) ln (s2)- (å(xi-m)2)/ 2s2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

範例、台灣的地理位置處於東亞地震帶，地震活動較頻繁。假設台灣發生有感地震的次數服從卜氏分佈Poi(m)。台東氣象站為了要估計此參數m，以了解台灣有感地震情形，於是觀察過去一年來的每月資料，得到台灣有感地震資料如下：9, 7, 12, 14, 3, 11, 7, 10, 4, 6, 8, 10。試以最大概似法求m之估計式，並由樣資料去估計m值。

SOL：L(x1, x2,…,xn；m) = f(x1, m)f(x2, m)…f(xn, m)

ln L(x1, x2,…,xn；m)= -nm +åni =1 xi ln m- ln Pni =1 xi!

d (ln L)/dm = -n + (åni =1 xi)/ m = 0

Estimator(估計式)  =åni =1 xi /n

= (9+7+12+14+3+11+7+10+4+6+8+10)/12= 101/12=8.42

 

 

 

 

 

 

6.2.2 動差法(Moment Method)

  • 由Pearson (14)提出。假設隨機變數X的k次動差為mk= E[Xk]，則樣本動差定義為

即為對k次動差mk點估計。

◎對母體平均值m、變異數

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